关于二叉树
二叉树作为树的一种，是一种重要的数据结构，也是面试官经常考的东西。昨天看了一下关于树中的面试题，发现二叉树中的面试题比较常见的题型大概有下面几个：创建一颗二叉树（先序，中序，后序）、遍历一颗二叉树（先序，中序，后序和层次遍历）、求二叉树中叶子节点的个数、求二叉树的高度、求二叉树中两个节点的最近公共祖先、打印和为某一值的全部路径、求某一节点是否在一个树中等等。
再详细的说这些面试题之前，不妨先看一下几种常见的二叉树：
完全二叉树：若二叉树的高度是h，除第h层之外，其他（1~h-1）层的节点数都达到了最大个数，并且第h层的节点都连续的集中在最左边。想到点什么没？实际上，完全二叉树和堆联系比较紧密哈~~~
满二叉树：除最后一层外，每一层上的所有节点都有两个子节点，最后一层都是叶子节点。
哈夫曼树：又称为最有数，这是一种带权路径长度最短的树。哈夫曼编码就是哈夫曼树的应用。
平衡二叉树：所谓平衡二叉树指的是，左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。
红黑树：红黑树是每个节点都带颜色的树，节点颜色或是红色或是黑色，红黑树是一种查找树。红黑树有一个重要的性质，从根节点到叶子节点的最长的路径不多于最短的路径的长度的两倍。对于红黑树，插入，删除，查找的复杂度都是O（log N）。
二叉树中的那些面试题
再具体说二叉树中的那些面试题之前，我们先看一下二叉树中的每个节点是什么样的，以及为了完成这些面试题，二叉树中声明的函数原型是什么样的：
二叉树的节点：BinTreeNode
//二叉树的节点类
class BinTreeNode
{
private:
int data;
BinTreeNode *left,*right;
public:
//利用初始化列表完成data，left，rightn的初始化
BinTreeNode(const int &item,BinTreeNode *lPtr = NULL,BinTreeNode *rPtr = NULL):data(item) ,left(lPtr),right(rPtr){};
void set_data(int item)
{
data = item;
}
int get_data()const
{
return data;
}
void set_left(BinTreeNode *l)
{
left = l;
}
BinTreeNode* get_left()const
{
return left;
}
void set_right(BinTreeNode *r)
{
right = r;
}
BinTreeNode* get_right()const
{
return right;
}
};
二叉树原型：BinTree，其中包含了这篇文章中要完成的函数原型的完整声明。
//二叉树
class BinTree
{
private:
BinTreeNode *root;
public:
BinTree(BinTreeNode *t = NULL):root(t){};
~BinTree(){delete root;};
void set_root(BinTreeNode *t)
{
root = t;
}
BinTreeNode* get_root()const
{
return root;
}
//1.创建二叉树
BinTreeNode* create_tree();
//2.前序遍历
void pre_order(BinTreeNode *r)const;
//3.中序遍历
void in_order(BinTreeNode *r)const;
//4.后序遍历
void post_order(BinTreeNode *r)const;
//5.层次遍历
void level_order(BinTreeNode *r)const;
//6.获得叶子节点的个数
int get_leaf_num(BinTreeNode *r)const;
//7.获得二叉树的高度
int get_tree_height(BinTreeNode *r)const;
//8.交换二叉树的左右儿子
void swap_left_right(BinTreeNode *r);
//9.求两个节点pNode1和pNode2在以r为树根的树中的最近公共祖先
BinTreeNode* get_nearest_common_father(BinTreeNode *r,BinTreeNode *pNode1,BinTreeNode *pNode2)const;
//10.打印和为某一值的所有路径
void print_rout(BinTreeNode *r,int sum)const;
//11.判断一个节点t是否在以r为根的子树中
bool is_in_tree(BinTreeNode *r,BinTreeNode *t)const;
};
2.1 创建一颗二叉树
创建一颗二叉树，可以创建先序二叉树，中序二叉树，后序二叉树。我们在创建的时候为了方便，不妨用‘#’表示空节点，这时如果先序序列是：6 4 2 3 # # # # 5 1 # # 7 # #，那么创建的二叉树如下：
下面是创建二叉树的完整代码：穿件一颗二叉树，返回二叉树的根。
//创建二叉树，这里不妨使用前序创建二叉树，遇到‘#’表示节点为空
BinTreeNode* BinTree::create_tree()
{
char item;
BinTreeNode *t,*t_l,*t_r;
cin>>item;
if(item != '#')
{
BinTreeNode *pTmpNode = new BinTreeNode(item-48);
t = pTmpNode;
t_l = create_tree();
t->set_left(t_l);
t_r = create_tree();
t->set_right(t_r);
return t;
}
else
{
t = NULL;
return t;
}
}
2.2 二叉树的遍历
二叉树的遍历分为：先序遍历，中序遍历和后序遍历，这三种遍历的写法是很相似的，利用递归程序完成也是灰常简单的：
//前序遍历
void BinTree::pre_order(BinTreeNode *r)const
{
BinTreeNode *pTmpNode = r;
if(pTmpNode != NULL)
{
cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
pre_order(pTmpNode->get_left());
pre_order(pTmpNode->get_right());
}
}
//中序遍历
void BinTree::in_order(BinTreeNode *r)const
{
BinTreeNode *pTmpNode = r;
if(pTmpNode != NULL)
{
in_order(pTmpNode->get_left());
cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
in_order(pTmpNode->get_right());
}
}
//后序遍历
void BinTree::post_order(BinTreeNode *r)const
{
BinTreeNode *pTmpNode = r;
if(pTmpNode != NULL)
{
post_order(pTmpNode->get_left());
post_order(pTmpNode->get_right());
cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
}
}
2.3 层次遍历
层次遍历也是二叉树遍历的一种方式，二叉树的层次遍历更像是一种广度优先搜索（BFS）。因此二叉树的层次遍历利用队列来完成是最好不过啦，当然不是说利用别的数据结构不能完成。
//层次遍历
void BinTree::level_order(BinTreeNode *r)const
{
if(r == NULL)
return;
deque<BinTreeNode*> q;
q.push_back(r);
while(!q.empty())
{
BinTreeNode *pTmpNode = q.front();
cout<<pTmpNode->get_data()<<" ";
q.pop_front();
if(pTmpNode->get_left() != NULL)
{
q.push_back(pTmpNode->get_left());
}
if(pTmpNode->get_right() != NULL)
{
q.push_back(pTmpNode->get_right());
}
}
}
2.4 求二叉树中叶子节点的个数
树中的叶子节点的个数 = 左子树中叶子节点的个数 + 右子树中叶子节点的个数。利用递归代码也是相当的简单，易懂。
//获取叶子节点的个数
int BinTree::get_leaf_num(BinTreeNode *r)const
{
if(r == NULL)//该节点是空节点，比如建树时候用'#'表示
{
return 0;
}
if(r->get_left()==NULL && r->get_right()==NULL)//该节点并不是空的，但是没有孩子节点
{
return 1;
}
//递归整个树的叶子节点个数 = 左子树叶子节点的个数 + 右子树叶子节点的个数
return get_leaf_num(r->get_left()) + get_leaf_num(r->get_right());
}
2.5 求二叉树的高度
求二叉树的高度也是非常简单，不用多说：树的高度 = max(左子树的高度，右子树的高度) + 1 。
//获得二叉树的高度
int BinTree::get_tree_height(BinTreeNode *r)const
{
if(r == NULL)//节点本身为空
{
return 0;
}
if(r->get_left()==NULL && r->get_right()==NULL)//叶子节点
{
return 1;
}
int l_height = get_tree_height(r->get_left());
int r_height = get_tree_height(r->get_right());
return l_height >= r_height ? l_height + 1 : r_height + 1;
}
2.6 交换二叉树的左右儿子
交换二叉树的左右儿子，可以先交换根节点的左右儿子节点，然后递归以左右儿子节点为根节点继续进行交换。树中的操作有先天的递归性。
//交换二叉树的左右儿子
void BinTree::swap_left_right(BinTreeNode *r)
{
if(r == NULL)
{
return;
}
BinTreeNode *pTmpNode = r->get_left();
r->set_left(r->get_right());
r->set_right(pTmpNode);
swap_left_right(r->get_left());
swap_left_right(r->get_right());
}
2.7 判断一个节点是否在一颗子树中
可以和当前根节点相等，也可以在左子树或者右子树中。
//判断一个节点t是否在以r为根的子树中
bool BinTree::is_in_tree(BinTreeNode *r,BinTreeNode *t)const
{
if(r == NULL)
{
return false;
}
else if(r == t)
{
return true;
}
else
{
bool has = false;
if(r->get_left() != NULL)
{
has = is_in_tree(r->get_left(),t);
}
if(!has && r->get_right()!= NULL)
{
has = is_in_tree(r->get_right(),t);
}
return has;
}
}
2.8 求两个节点的最近公共祖先
求两个节点的公共祖先可以用到上面的：判断一个节点是否在一颗子树中。（1）如果两个节点同时在根节点的右子树中，则最近公共祖先一定在根节点的右子树中。（2）如果两个节点同时在根节点的左子树中，则最近公共祖先一定在根节点的左子树中。（3）如果两个节点一个在根节点的右子树中，一个在根节点的左子树中，则最近公共祖先一定是根节点。当然，要注意的是：可能一个节点pNode1在以另一个节点pNode2为根的子树中，这时pNode2就是这两个节点的最近公共祖先了。显然这也是一个递归的过程啦：
//求两个节点的最近公共祖先
BinTreeNode* BinTree::get_nearest_common_father(BinTreeNode *r,BinTreeNode *pNode1,BinTreeNode *pNode2)const
{
//pNode2在以pNode1为根的子树中（每次递归都要判断，放在这里不是很好。）
if(is_in_tree(pNode1,pNode2))
{
return pNode1;
}
//pNode1在以pNode2为根的子树中
if(is_in_tree(pNode2,pNode1))
{
return pNode2;
}
bool one_in_left,one_in_right,another_in_left,another_in_right;
one_in_left = is_in_tree(r->get_left(),pNode1);
another_in_right = is_in_tree(r->get_right(),pNode2);
another_in_left = is_in_tree(r->get_left(),pNode2);
one_in_right = is_in_tree(r->get_right(),pNode1);
if((one_in_left && another_in_right) || (one_in_right && another_in_left))
{
return r;
}
else if(one_in_left && another_in_left)
{
return get_nearest_common_father(r->get_left(),pNode1,pNode2);
}
else if(one_in_right && another_in_right)
{
return get_nearest_common_father(r->get_right(),pNode1,pNode2);
}
else
{
return NULL;
}
}
可以看到这种做法，进行了大量的重复搜素，其实有另外一种做法，那就是存储找到这两个节点的过程中经过的所有节点到两个容器中，然后遍历这两个容器，第一个不同的节点的父节点就是我们要找的节点啦。 实际上这还是采用了空间换时间的方法。
2.9 从根节点开始找到所有路径，使得路径上的节点值和为某一数值（路径不一定以叶子节点结束）
这道题要找到所有的路径，显然是用深度优先搜索（DFS）啦。但是我们发现DFS所用的栈和输出路径所用的栈应该不是一个栈，栈中的数据是相反的。看看代码：注意使用的两个栈。
//注意这两个栈的使用
stack<BinTreeNode *>dfs_s;
stack<BinTreeNode *>print_s;
//打印出从r开始的和为sum的所有路径
void BinTree::print_rout(BinTreeNode *r,int sum)const
{
if(r == NULL)
{
return;
}
//入栈
sum -= r->get_data();
dfs_s.push(r);
if(sum <= 0)
{
if(sum == 0)
{
while(!dfs_s.empty())
{
print_s.push(dfs_s.top());
dfs_s.pop();
}
while(!print_s.empty())
{
cout<<print_s.top()->get_data()<<" ";
dfs_s.push(print_s.top());
print_s.pop();
}
cout<<endl;
}
sum += r->get_data();
dfs_s.pop();
return;
}
//递归进入左子树
print_rout(r->get_left(),sum);
//递归进入右子树
print_rout(r->get_right(),sum);
//出栈
sum += r->get_data();
dfs_s.pop();
}
最后，给出一点测试代码：
int main()
{
BinTree tree;
/*--------------------------------------------------------------------------*/
cout<<"请输入二叉树前序序列进行建树，'#'代表空节点："<<endl;
tree.set_root(tree.create_tree());
cout<<endl;
/*--------------------------------------------------------------------------*/
cout<<"前序遍历的结果：";
tree.pre_order(tree.get_root());
cout<<endl<<endl;
/*--------------------------------------------------------------------------*/
cout<<"中序遍历的结果：";
tree.in_order(tree.get_root());
cout<<endl<<endl;
/*--------------------------------------------------------------------------*/
cout<<"后序遍历的结果：";
tree.post_order(tree.get_root());
cout<<endl<<endl;
/*--------------------------------------------------------------------------*/
cout<<"层次遍历的结果：";
tree.level_order(tree.get_root());
cout<<endl<<endl;
/*--------------------------------------------------------------------------*/
cout<<"该二叉树叶子节点的个数：";
cout<<tree.get_leaf_num(tree.get_root())<<endl<<endl;
/*--------------------------------------------------------------------------*/
cout<<"该二叉树的高度是：";
cout<<tree.get_tree_height(tree.get_root())<<endl<<endl;
/*--------------------------------------------------------------------------*/
tree.swap_left_right(tree.get_root());
cout<<"交换左右子树之后的先序遍历结果为：";
tree.pre_order(tree.get_root());
cout<<endl<<endl;
/*--------------------------------------------------------------------------*/
BinTreeNode *p1 = tree.get_root()->get_left()->get_right();
BinTreeNode *p2 = tree.get_root()->get_left()->get_left();
BinTreeNode *p3 = tree.get_root()->get_right()->get_right()->get_right();
cout<<p1->get_data()<<" 和 "<<p2->get_data()<<"的最近公共祖先是：";
BinTreeNode *p = tree.get_nearest_common_father(tree.get_root(),p1,p2);
cout<<p->get_data()<<endl;
cout<<p1->get_data()<<" 和 "<<p3->get_data()<<"的最近公共祖先是：";
p = tree.get_nearest_common_father(tree.get_root(),p1,p3);
cout<<p->get_data()<<endl<<endl;
/*--------------------------------------------------------------------------*/
cout<<"路径如下："<<endl;
tree.print_rout(tree.get_root(),12);
return 0;
}
运行结果：
以上内容，只是本人看过的面试题目的一点总结，可能不够全，可能其中的代码也有很多的错误，可能其中的内容有点水，但是我想对那部分即将参加面试的应届毕业生还是有帮助的。。大神们勿喷~~~
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