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2020
10-13

如何基于java实现Gauss消元法过程解析

补充知识：

正定矩阵

奇异矩阵

严格对角占优

要理解Gauss消去法，首先来看一个例子：

从上例子可以看出，高斯消去法实际上就是我们初中学的阶二元一次方程组，只不过那里的未知数个数$n=2$

$n>2$时，Gauss消去法的思路实际上和解二元一次方程组是一样的，方法如下：

  • 将n方程组中的n−1个方程通过消元，形成一个与原方程组等价的一个新方程组，新方程组中的n−1个方程仅包含n−1个未知数。
  • 故问题就转化为了求解n−1元的方程组，这样我们可以继续消元，以次类推，直到最后一个方程组为一元一次方程组
  • 从最后一个一元一次方程组求解出最后一个未知量，然后逐步回代入之前的方程组，从而得到所有的未知数。
  • 我们可以看到Gauss实际上就分为两步：消去和回代

下面通过一般化得到Gauss消元法的求解过程

以上就是Gauss消去法的基本步骤，我们再回过头看看有没有什么问题？

我们在求比例$l_{ik}= \frac{a_{ik}^{\left (k-1 \right )}}{a_{kk}^{\left (k-1 \right )}}$时，如果分母很小，即：

$l_{ik}\rightarrow \infty$，那么

总结一下，能否使用Gauss消元法的情况

为了解决这个问题，我们可以使用列主元Gauss消元法。

参考了一些网上的代码，这里给出Gauss的Java实现

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package peterxiazhe;
 
import java.util.Scanner;
 
public class Gauss {
  /**
   * 列主元高斯消去法
   */
  static double A[][];
  static double b[];
  static double x[];
   
  static int n;  //n表示未知数的个数
  static int n_2;  //记录换行的次数
   
  public static void main(String[] args) {
    System.out.println("--------------输入方程组未知数的个数---------------");
    Scanner sc = new Scanner(System.in);
    n = sc.nextInt();
     
    A = new double[n][n];
    b = new double[n];
    x = new double[n];
     
    System.out.println("--------------输入方程组的系数矩阵A:---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      for(int j = 0; j < n; j++) {
        A[i][j] = sc.nextDouble();
      }
    }
     
    System.out.println("--------------输入方程组的常量向量b:---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        b[i] = sc.nextDouble();
      }
     
    Elimination();
    BackSubstitution();
    PrintRoot();
  }
   
   
  //消元法
  public static void Elimination() {
    PrintA();
    for(int k = 0; k < n; k++) {
      WrapRow(k);
      for(int i = k+1; i < n; i++) {
        double l = A[i][k] / A[k][k];
        A[i][k] = 0;
         
        for(int j = k+1; j < n; j++) {
          A[i][j] = A[i][j] - l * A[k][j];
        }
        b[i] = b[i] - l * b[k];
      }
      //System.out.println("第" + k + "次消元后:");
      //PrintA();
    }
  }
   
  //回代法
  public static void  BackSubstitution() {
    x[n-1] = b[n-1] / A[n-1][n-1];
    for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
      x[i] = (b[i] - solve(i)) / A[i][i];
    }
  }
   
  public static double solve(int i) {
    double result = 0.0;
    for(int j = i; j < n; j++)
      result += A[i][j] * x[j];
    return result;
  }
   
   
  //输出方程组的根
  public static void PrintRoot() {
    System.out.println("--------------方程组的根为---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      System.out.println("x" + (i+1) + " = " + x[i]);
    }
  }
   
  //交换Swap函数???
  public static void Swap(double[] ar, int x, int y) {
    Double tmp = ar[x];
    ar[x] = ar[y];
    ar[y] = tmp;
  }
   
  public static void PrintA() {  //输出A的增广矩阵
    //System.out.println("--------------增广矩阵---------------");
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      for(int j = 0; j < n; j++) {
        System.out.print(A[i][j] + " ");
      }
      System.out.println(b[i]);
    }
  }
   
  //交换矩阵的行
  public static void WrapRow(int k) {  //k表示第k+1轮消元
    double maxElement = Math.abs(A[k][k]);
     
    int WrapRowIndex = k;  //  记住要交换的行
    for(int i = k + 1; i < n; i++) {
      if (Math.abs(A[i][k]) > maxElement) {
        WrapRowIndex = i;
        maxElement = A[i][k];
      }
    }
    if (WrapRowIndex != k) {  //交换求得最大主元
      n_2 += 1;
      System.out.println("k = " + k + "时，" + "要交换的行为" + k + "和"+ WrapRowIndex);
       
      //先交换A
      for(int j = k; j < n; j++) {
        double[] arr = {A[k][j], A[WrapRowIndex][j]};
        Swap(arr, 0, 1);
        A[k][j] = arr[0]; A[WrapRowIndex][j] = arr[1];
//        double tmp = A[k][j];
//        A[k][j] = A[WrapRowIndex][j];
//        A[WrapRowIndex][j] = tmp;
      }
       
      //再交换b
      double[] arr = {b[k], b[WrapRowIndex]};
      Swap(arr, 0, 1);
      b[k] = arr[0]; b[WrapRowIndex] = arr[1];
//      double tmp = b[k];
//      b[k] = b[WrapRowIndex];
//      b[WrapRowIndex] = tmp;
      System.out.println("--------------交换后---------------");
      PrintA();
    }   
  }
}

注意：由于Java不支持对基本数据类型的引用传递，这里使用了一个小技巧

java中交换两个基本数据类型的变量函数swap(int[] source,int i,int j）

java中函数的参数传递机制是：基本数据类型采用值传递，对象采用传引用。因此，如果要写一个交换两个int型变量数值的函数，还真是有点不方便，必须采用一个数组对象来作为辅助,具体实现如下：

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//交换两个整数
  private static void swap(int[] source, int i, int j) {
 
    int temp = source[i];
    source[i] = source[j];
    source[j] = temp;
  }

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持自学编程网。

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