R语言实现广义线性回归模型

第一是线性自变量，它表明第i个响应变量的期望值E(yi)只能通过线性自变量βTxi而依赖于xi，其中如通常一样，β是未知参数的(p+1)x1向量，可能包含截距。
第二是连续函数，它说明线性自变量和E(yi)的关系，给出了线性模型的推广。
第三是误差函数，它说明广义线性模型的最后一部分随机成分。

我们保留样本为相互独立的假设，但去掉可加和正态误差的假设。可以从指数型分布族中作选一个作为误差函数。

1 与广义线性模型有关的R函数

R软件提供了拟合计算广义线性模型的函数glm()，其命令格式如下：

其中：

formula是拟合公式，这里的意义与线性模型相同，
family是分布族，即前面讲到的广义线性模型的种类，如正态分布，Poisson分布，二项分布等。
data是数据框，这里的意义与线性模型相同。

对于每个分布族（family），提供了相应的连接函数，如表6.12所示：

有了这些分布族和连接函数，我么就可以完成相应的广义线性模型的拟合问题。

2 正态分布族

正态分布族的使用方法是：

式中link=identity可以不写，因为正态分布族的连接函数缺省值是恒等（identity）。事实上，整个参数family = gaussian也可以不写，因为分布族的缺省值就是正态分布。

从表6.11可以看出，正态分布族的广义线性模型实际上与线性模型是相同的，也就是说：

与线性模型

有完全相同的计算结果，但效率却低的多。

3 二项分布族

在二项分布族中，logistic回归模型是最重要的模型。在某些回归问题中，相应变量使分类的，经常是或者成功，或者失败。对于这些问题，正态线性模型显然是不合适的，因为正态误差不对应一个0-1相应。在这种情况下，可用一种重要的方法称为logistic回归。

用R软件计算logistic回归模型的公式为：

式中link=logit可以不写，因为logit是二项分布族连接函数是缺省状态。

在用glm()函数做logistic回归模型使，对于公式formula有两种输入方法，一种是输入成功和失败的次数，另一种像线性模型通常数据的输入方式。

例 R. Norell实验

为研究高压电线对牲畜的影响，R.Norell研究小的电流对农场动物的影响。他在实验中，选择了7头，6种电流强度，0,1,2,3,4,5毫安。每头牛被点击30下，每种强度5下，按随机的次序进行。然后重复整个实验，每头牛总共被点击60下。对每次电击，相应变量——嘴巴运动，或者出现，或者未出现。表6.13中的数据给出每种电击强度70次实验中相应的总次数。试分析电击对牛的影响。